[2014년 덕이고]

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[1학년 2학기 기말]

함수 [eqn: y= { k} over {x-p }+q]의 그래프가 그림과 같을 때, 실수 [eqn: k^2 +p^2 +q^2]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

무리함수 [eqn: y= sqrt { x-1}+2]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.3점]

②

ㄱ. 정의역은 [eqn: left{`x`|`x ge 1 right]이다.

ㄴ. 그래프는 제[eqn: 1]사분면만을 지난다.

ㄷ. 그래프는 [eqn: y=- sqrt { x-1} +2]의 그래프와

[eqn: x]축에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)= sqrt { x+4}+2], [eqn: g(x)=- sqrt { 2x+7}]에 대하여
[eqn: (g circ(g circf)^-1 circg)(3)]의 값은? [4.7점]

①

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

등차수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 다음이 성립한다. [eqn: a_5]의 값은? [4.5점]

⑤

[eqn: 4]분을 잴 수 있는 모래시계 [eqn: rmA]와 [eqn: 5]분을 잴 수 있는 모래시계 [eqn: rmB]가 있다. 두 모래시계 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 이용하여 [eqn: (a_2 -a_1 )]분을 재는 방법에 대하여 알아보자.

먼저 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 동시에 엎어놓고 [eqn: rm4]분이 지나면 [eqn: rmA]의 모래는 모두 흘러내리고 [eqn: rmB]에는 [eqn: a_1]분의 모래가 남는다. 그 순간 [eqn: rmA]를 바로 뒤집어서 [eqn: a_1]분이 지나면 [eqn: rmA]에는 [eqn: a_2]분의 모래가 남고 [eqn: rmB]의 모래는 모두 흘러내린다. 그 순간 [eqn: rmB]를 바로 뒤집어서 [eqn: a_2]분이 지나면 [eqn: rmA]의 모래는 모두 흘러내리고 [eqn: rmB]에는 [eqn: (a_2 -a_1 )]분의 모래가 남는다.

이때부터 [eqn: rmB]로 [eqn: (a_2 -a_1 )]분을 잴 수 있다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

일정한 크기의 동그라미를 정오각형 모양으로 늘어서게하여 나타낼 수 있는 수를 오각수(pentagon number)라고 한다. 이 때, 첫 번째 오각수를 [eqn: P_1 =1], 두 번째 오각수를 [eqn: P_2 =5], [eqn: cdots]라고 한다면 [eqn: 10]번째 오각수 [eqn: P_10]의 값은? [4.9점]

④

① [eqn: 72]	② [eqn: 73]	③ [eqn: 144]

④ [eqn: 145]	⑤ [eqn: 146]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 직서 sdnl를 따라 같은 방향으로 달린다. [eqn: rmB]는 [eqn: rmA]보다 [eqn: 200rmm] 앞에서 [eqn: rmA]와 동시에 출발한다. [eqn: rmA]의 출발점을 [eqn: a_1], [eqn: rmB]의 출발점을 [eqn: a_2], [eqn: rmA]가 [eqn: a_2]에 도달했을 때 [eqn: rmB]의 위치를 [eqn: a_3], [eqn: rmA]가 [eqn: a_3]에 도달했을 때 [eqn: rmB]의 위치를 [eqn: a_4]라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 점 [eqn: a_n]([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])을 정한다. [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 사이의 거리가 [eqn: 2rmm] 이내가 되기 시작할 때, [eqn: rmB]의 위치는? (단, [eqn: rmA]의 속도는 [eqn: rmB]의 속도의 [eqn: 2]배이다.) [4.7점]

③

① [eqn: a_6]과 [eqn: a_7] 사이	② [eqn: a_7]과 [eqn: a_8] 사이

③ [eqn: a_8]과 [eqn: a_9] 사이	④ [eqn: a_9]과 [eqn: a_10] 사이

⑤ [eqn: a_10]과 [eqn: a_11] 사이

[eqn: { 1} over { 1cdot3}+ { 1} over {3cdot5 }+ { 1} over {5cdot7 }+cdots+ { 1} over {37cdot39 }+ { 1} over {39cdot41 }]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 20over41]	② [eqn: 40over41]	③ [eqn: 20over81]

④ [eqn: 40over81]	⑤ [eqn: 80over81]

등차수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum_k=2 ^7 a_k -sum_k=1 ^6 a_k =12]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차는? [4.4점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: a_n =(n+3)(n-2)], [eqn: b_n =2^n]일 때, [eqn: sum_i=1 ^3 left(sum_k=1 ^3 a_i b_k right)]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 25]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 29]

다음은 [eqn: a_n = { 2n+3} over {3^n cdotn(n+1) }]으로 정의된 수열 [eqn: left{a_n right]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_k=1 ^n a_k =1- { 1} over { 3^n cdot(n+1)}] [eqn: cdots] ㉠
임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 (가)에 들어갈 값을 [eqn: a], (나), (다)에 들어갈 식을 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: a times { f(2)} over {g(2) }]의 값은? [4.8점]

(증명)

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

[eqn: (좌변)=(우변)=box{`````(가)`````}]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1 ^m a_k =1- { 1} over {3^m cdot(m+1) }]

[eqn: n=m+1]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}# ````````````````=1- {1} over {3 ^{m} CDOT (m+1)} + {1} over {3 ^{m} CDOT (m+1)} TIMES BOX{`````(나)`````}# ````````````````=1- {1} over {3 ^{m+1}} TIMES BOX{`````(다)`````}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 9over2]

그림과 같이 좌표평면 위의 원점 [eqn: (0,```0)]을 출발하여 점 [eqn: (1,```0)], [eqn: (1,```1)], [eqn: (0,```1)], [eqn: (-1,```1)], [eqn: (-1,```0)], [eqn: (-1,```-1)], [eqn: cdots]에 차례로 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: cdots]의 자연수를 하나씩 대응시켜 써 나간다. 이와 같은 방법을 계속했을 때, [eqn: (0,```10)]에 쓰일 수는? [5.1점]

①

① [eqn: 391]	② [eqn: 392]	③ [eqn: 393]

④ [eqn: 394]	⑤ [eqn: 395]

[eqn: a_1 =2], [eqn: a_n+1 =2^n a_n]([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])으로 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_5]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 2^10]	② [eqn: 2^11]	③ [eqn: 2^12]

④ [eqn: 2^13]	⑤ [eqn: 2^14]

실수 [eqn: a]에 대한 설명 중 옳은 것은? [4.3점]

⑤

① 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: x^n =a]의 실근은 항상 존재한다.

② 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: x^n =a]의 실근은 [eqn: ± root {n} of {a}]이다.

③ 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근은 [eqn: root {n} of {a}]이다.

④ [eqn: a]의 네제곱근 중에서 실수인 것은 오직 [eqn: root {n} of {a}] 하나뿐이다.

⑤ [eqn: a]의 세제곱근 중에서 실수인 것은 항상 존재한다.

[eqn: 3 ^{x} =4 ^{y} =12 ^{z} =a]이고 [eqn: { 1} over {x }+ { 1} over {y }+ { 1} over {z }=2]일 때, [eqn: a]의 값은? (단,
[eqn: xyz!=0]) [4.5점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 18]

서술형

함수 [eqn: f(x)= { ax+1} over { bx+3}]의 그래프와 그 역함수의 그래프가 모두 점 [eqn: (-1,```2)]를 지날 때, [eqn: f^-1 (-2)]의 값을 구하시오. [9.0점]

[eqn: 7]

이달 초에 [eqn: 50]만 원 짜리 물건을 구입하고 물건의 값은 이달 말부터 일정한 금액씩 갚기로 하였다. 월이율 [eqn: 1%], [eqn: 1]개월마다 복리로 계산하고 [eqn: 60]회에 걸쳐 갚아 나간다고 한다. 매달 얼마씩 갚아야 하는지 구하시오. (단, [eqn: 1.01 ^60 =1.8]로 계산한다.) [9.0점]

[eqn: 15000]원

[eqn: sum_k=1 ^n a_k =n^2 +2n+3]일 때, [eqn: sum_k=1 ^10 a_2k-1]의 값을 구하시오. [9.0점]

[eqn: 213]

비이커에 농도가 [eqn: 20%]인 소금물 [eqn: 100rmg]이 들어 있다. 이 소금물에 소금 [eqn: rm10g]을 넣어 섞은 후 절반을 버리고 물을 채워 [eqn: rm100g]의 소금물을 만들었을 때 이 소금물의 농도를 [eqn: a_1 %]라고 하자. 또 농도가 [eqn: a_1 %]인 소금물 [eqn: rm100g]에 소금 [eqn: rm10g]을 넣어 섞은 후 절반을 버리고 물을 채워 [eqn: 100rmg]의 소금물을 만들었을 때 이 소금물의 농도를 [eqn: a_2 %]라고 하자. 이와 같은 시행을 [eqn: n]번 반복한 소금물의 농도를 [eqn: a_n %]라고 할 때, 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: 16]

(2) [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +5]

(3) [eqn: 10]

(1) [eqn: a_1]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계식을 구하시오. [3.0점]

(3) [eqn: a_n -10< { 1} over {100 }]이 되는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. [4.0점]

[2014년 덕이고]

[1학년 2학기 기말]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com